|
Hoewel het theoretisch mogelijk is dat er axioma’s bestaan, is tot nu toe slechts een klein aantal axioma’s voorgesteld en onderzocht. Gewoonlijk wordt tijdens de ontwikkeling van een of meer theorieën opgemerkt dat sommige bewijsschema’s worden herhaald onder min of meer vergelijkbare omstandigheden. Zodra de eigenschappen die in algemene bewijsschema’s worden gebruikt, zijn ontdekt, worden ze geformuleerd in de vorm van axioma’s en worden de consequenties ervan ingebouwd in een algemene theorie die niet direct verband houdt met de specifieke contexten waaruit de axioma’s zijn afgeleid. De algemene stellingen die in dit geval zijn verkregen, zijn van toepassing op elke wiskundige situatie waarin er stelsels van objecten zijn die voldoen aan de overeenkomstige axioma’s. De herhaling van dezelfde bewijsschema’s in verschillende wiskundige situaties geeft aan dat we te maken hebben met verschillende concretisaties van dezelfde algemene theorie. Dit betekent dat na een passende interpretatie de axioma’s van deze theorie in elke situatie stellingen worden. Elke eigenschap die uit de axioma’s wordt afgeleid, is geldig in al deze situaties, maar er is geen afzonderlijk bewijs nodig voor elk geval. In dergelijke gevallen wordt gezegd dat wiskundige situaties dezelfde wiskundige ‘structuur’ hebben. We gebruiken het concept van structuur bij elke stap in ons dagelijks leven. Als de thermometer 10 ° C aangeeft en het prognosebureau een temperatuurstijging van 5 ° C voorspelt, verwachten we een temperatuur van 15 ° C zonder berekeningen. Staat het boek open op pagina 10 en wordt ons gevraagd 5 pagina’s verder te zoeken, dan schromen we niet om het te openen op pagina 15 zonder tussenliggende pagina’s te tellen. In beide gevallen denken we dat het optellen van de cijfers het juiste resultaat geeft, ongeacht of ze worden geïnterpreteerd als temperatuur- of paginanummers. We hoeven niet de ene rekenkunde te leren voor thermometers en een andere voor paginanummers (hoewel we speciale rekenkunde gebruiken bij het omgaan met klokken, waarbij 8 + 5 = 1, aangezien klokken een andere structuur hebben dan boekpagina’s). Structuren die voor wiskundigen interessant zijn, zijn iets complexer, zoals gemakkelijk kan worden opgemaakt uit de voorbeelden, waarvan de analyse is gewijd aan de volgende twee secties van dit artikel. Een ervan behandelt groepentheorie en de wiskundige concepten van structuren en isomorfismen.
|
| https://breinbrekers.be/ |
